Mathematisches Modellieren
Mit diesem Beispiel soll anhand einer Problemstellung der Versicherungsmathematik gezeigt werden, wie mathematisches Denken zusammen mit Bedingungen von außen zur Modellierung von in der Praxis auftretenden Prozessen eingesetzt werden kann.
Eine Versicherung will zur Abschätzung des Risikos von Kapitalverlust ein Modell ihrer Kapitalentwicklung aufstellen. Es wird dabei das Kapital Kt der Versicherung zu einem Zeitpunkt t von verschiedenen beeinflussbaren Parametern und zufälligen Ereignissen abhängen. Vorgebbar sind beispielsweise die Höhe des Startkapitals K0, sowie der Prämie c, wohingegen die negativ eingehenden Schadensfälle, also deren jeweilige Höhe X und deren Anzahl Nt, unvorhersehbar, sind und durch Zufallsvariablen modelliert würden.
Eine kurze Begriffserklärung:
Unter eine Zufallsvariablen versteht man einen Wert, der durch ein zufälliges Ereignis entsteht und sich mit der Zeit nicht (völlig) vorhersehbar verändert; z. B. die Anzahl der Punkte eines geworfenen Würfels, oder ein Messwert, wie der Wasserstand der Mur bei einer bestimmten Brücke in Graz. Man hat dazu im Allgemeinen eine Ahnung, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, z. B. 1/6, um etwa eine 1 zu würfeln.
Die Gesamtheit dieser Wahrscheinlichkeiten nennt man die Verteilung der Zufallsvariablen. Weiß man, wie eine Zufallsvariable Z verteilt ist (d. h. man kennt ihre Verteilung), kann man sich ausrechnen, um welchen Wert herum der Großteil der Werte über einen längeren Zeitraum gesehen liegen wird. Dieser Wert heißt dann der Erwartungswert E(Z) von Z.
Nochmal zurück zum Beispiel: K0, c sind also steuerbare Parameter; Nt, X sind Zufallsvariablen, deren Verteilung man an die statistisch erhobene Situation, z. B. das Unfallgeschehen, anpasst. Ein erster einfacher Ansatz könnte damit wie folgt aussehen:
$$K_{t}=K_{0}+c\cdot t-\sum_{i=1}^{N_{t}}X_{i}$$
Jedes Xi ist eine jeweils unabhängige Zufallsvariable, die wie X verteilt ist, d. h., sie hat die gleichen Wahrscheinlichkeiten, liefert aber vielleicht andere Werte aus demselben Wertebereich.
Sieh dir nun die folgenden Aussagen zum Modell an und entscheide, ob sie plausibel sind oder nicht!