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Studierende sitzen mit To-Go-Heißgetränken gemeinsam im Außenbereich an einem Tisch und unterhalten sich fröhlich.

Spielerisches

Mathematik spielt auch bei vielen Rätseln, Spielen und Puzzles eine große Rolle. Sudokus haben z. B. einiges mit den Gebieten der Kombinatorik und Diskreten Mathematik zu tun. Bei Spielen mit mehreren Personen kann man versuchen, eine optimale Strategie auszuhecken.

Das Würfelspiel „Böse Eins“ funktioniert im Wesentlichen wie folgt:

(Beliebig viele) Spielende versuchen, möglichst als Erste die Gesamtsumme 100 zu erreichen. In jedem Durchgang darf die gerade spielende Person solange weitere Punkte erwürfeln, bis sie entweder a) den Spielzug beendet und die Punkte gutschreiben lässt oder b) eine 1 würfelt, wobei ihre Punkte dieses Durchgangs verfallen. Dann wird der Würfel weitergegeben, bis alle in der Runde dran waren.

Zunächst ist klar, dass pro einzelnem Wurf die Wahrscheinlichkeit für die 1 und somit 0 Punkte bei 1/6 liegt. Andernfalls, wenn man tatsächlich Punkte erreicht, bleiben noch 5 gleich wahrscheinliche Möglichkeiten, 2, 3, 4, 5, 6. Die dann durchschnittlich erreichbare Punkteanzahl ist

$$\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}+\frac{5}{5}+\frac{6}{5}=\frac{20}{5}=4$$

mit der Wahrscheinlichkeit 1 – 1/6 = 5/6.

Angenommen, man legt sich vor Spielbeginn auf eine fixe Anzahl fest, die man in jedem Durchgang höchstens würfeln will, etwa fünf. D. h., wenn man dann in einem Durchgang schon fünfmal würfeln konnte, hört man auf, sonst würfelt man weiter. Was wäre die beste Anzahl bzw. Strategie?

Es kann natürlich hier keine Gewinn-Strategie wie bei einfachen Brettspielen geben, in dem Sinn, dass ihr striktes Befolgen den Gewinn garantieren würde. Aber man kann verschiedene Vorgehensweisen miteinander vergleichen und feststellen, welche erfolgreicher ist.

In einfachen Fällen kann man den erwartbaren Gewinn einer Strategie direkt ausrechnen. Man kann z. B. bei der in der Frage angeführten Strategie mit fünf Würfen mit Wahrscheinlichkeit (5/6)5 überhaupt mit einem Gewinn, und dann in der Höhe von 5 · 4 = 20 rechnen. Das entspräche also einem Erwartungswert von 5 · 4 · (5/6)5 = \(\frac{15625}{1944}\approx\) 8.03755 ... Entsprechend ist der Wert bei n Würfeln n · 4 · (5/6)n.

Dieselbe Strategie mit sechs Würfeln liefert damit denseben Wert. Mit sieben beträgt er 28 (5/6)7 =  \(\frac{546875}{69984}\approx\) 7.81429 ... und beginnt weiter zu sinken. Ebenso mit weniger als fünf Würfen. Mit vier ist er 16(5/6)4 = 625/81 \(\approx\) 7.71605. Verfolgt man diese Art von Strategie, beschränkt man sich also am besten auf fünf oder sechs Würfe. 

Zwei Studierende unterhalten sich auf der Universitätsbibliotheks-Treppe

Eine andere Möglichkeit wäre, sich stattdessen auf eine fixe Punktezahl (etwa 20) zu konzentrieren, bis zu der man in jedem Durchgang wenigstens kommen will. Hier ist allerdings die exakte Analyse komplexer und wird hier weggelassen. Aber wesentlich dabei ist, dass man durch die zusätzlich einfließende Information des Spielstandes flexibel reagieren kann, weniger riskiert und dadurch mehr gewinnt.

Auch das ist noch keine „optimale“ Strategie, da die Information über den Gesamtspielstand, des eigenen und der anderen, noch nicht berücksichtigt ist. Im Vergleich ist sie jedoch ganz brauchbar. Ausprobieren!

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